（跟上一章同样的理由）

伯克利基数：berkeley 基数是zermelo-fraenkel集合论模型中的基数k，具有以下性质：

对于包含k和α＜k的每个传递集m，存在m的非平凡初等嵌入，其中a＜临界点＜k.berkeley基数是比reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是，对于vk上的每个二元关系r，都有(vk，r)的非平凡基本嵌入到自身中。

这意味着我们有基本的

j1，j2, j3...

j1:(vk,∈)→(vk,∈),

j2：(vk,∈，j1)→(vk,∈,j1),

j3:(vk,∈,j1,j2)→(vk,∈，j1，j2)等等。

这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。

因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数入，存在一个zf+berkeley基数的传递模型，该模型在入序列下是封闭的，是不需要定义的类。

超级莱茵哈特基数：对于任一序数α，存在一j:v→v with j(k)＞α并具有临界点k，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。

伯克利club：基数κ是伯克利基数，如果对于任何带κ的传递集k∈m和任何序数α＜κ，都会有一个初等嵌入j:m＜m和crit j＜k，如果真的存在伯克利基数，那么就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性ω，通过对κ的施加一定的条件，似乎可以增强berkeley性质，如果κ是berkeley和α，α∈m且m有传递，那么对于任意α＜k，都有一个j:m＜m和α＜crit j＜k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的m?k都存在j:m?m与crit j＜k，基数是berkeley，且仅当对于任何传递集m?κ存在j:m?m和α＜crit j＜k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_α，称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→c?κ和所有带κ的传递集m∈m；有j∈ε(m)和crit (j)∈c，称κ为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数，如果k为最小的伯克利，则y＜k。

冯·诺依曼宇宙v

v?=?

v＿α+1=p(v＿α)

若λ为极限序数，则v_λ=∪_kλ v_k，